ディジタル信号処理

周波数分解
信号x(t)が周期Tで繰り返すとき、その波形は 周波数 1/P の基本波 ｆ とその整数倍の周波数および定数の重ね合わせで表現できます。ここで、
ω₀は、2π/T とします。

ディジタル信号処理
アナログ信号を、適当な時間間隔でサンプリングしAD変換する。AD変換した数値列から、信号に含まれる情報を解析するのがディジタル信号処理です。

たとえば、-1/2〜1/2 の以下の周期関数を考えます。これをフーリエ変換したa0,a1は次のように求めることができます。

エリアシング
下図は、f0=3Hz、f1=13Hz、を　fs=16Hzでサンプリングした例です。下の波形はサンプリングの定理を満たなさいため、実際には存在しない、f3 の周期が現れます。
f3 = fs-f0 の関係があり、丁度ｆｓで折り返したように見えます。

次：離散フーリエ変換

フーリエ係数
フーリエ級数の係数 ak,bk は、両辺に cos k ω₀ t をかけて周期で積分して求めることができます。sin、cos 関数は k と l が異なるとき、周期全体で積分すると0となる「直交性」があります。したがって、右辺は ak のみが残り、他の係数の項は0になります。

=2/π

サンプリングの定理
信号に含まれる最大周波数を ｆ とします。このとき、1秒あたりのサンプリング回数 fs は 2*f 以上でなければならない。これは発見者の名前でナイキストの定理と呼ばれることもあります。

離散フーリエ変換（DFT）
DFTは積分をサンプルされた信号値の和で行います。サンプル間隔が、サンプリングの定理を満たしていれば、同じフーリエ係数を数値計算することができます。

a2=0.　a3=-2/(3π）　a4=0 a5=2/(5π)
となります。また、bi = 0 です。