離散フーリエ変換
x(t)のサンプル値の系列 x(t)を
とします。x(t)のフーリエ係数Ckが、k>N/2に対して0ならば、Ckは時系列から求めることができます。
複素表現
sin,cosはオイラーの公式で e のべき乗表現に変換できます。すると、フーリエ級数は次のように簡潔に表現できます。
Σの範囲が -∞ に拡大されます。
フーリエ変換の性質
フーリエ変換を F[] とします。
線形性
F [ a x(n) + b y (n) ] = a X(k) + bY(k)
時間シフト
F[ x(n-m) modN] = e(-j2πkm/n)X(k)
畳み込み
パワー系列(パーシバルの定理)
ck=
このとき、Ck=Ck+n ですから、Ck をX(k)で置き換えると、次のように相互変換できます。X(k)への変換を離散フーリエ変換(DFT)、x(n)に戻す変換を離散フーリエ逆変換(IDFT)といいます。
複素フーリエ級数は次のように計算できます。
例 下図の信号の係数Ckは次のようになります。
Ckの列をスペクトルと呼びます。