2次のベジェ曲線
媒介変数 t の２次式で表現され、３点A,B,Cから以下のように生成します。
r(t)=A・(1-t)2
+ 2・B・t(1-t) + C・t2
t=0でA点、t=1でC点となります。A,B,Cは実際には、(x,y,z)の各座標値のベクトルとなります。
tの2次式ですから、ピークを一つ持つ単純な2次曲線になります。
n次のベジェ曲線
n個の点 Pi のを制御点とするベジェ曲線は次のtにj関するn次式になります。
ベジェ曲線作図ツール
黒い丸の4点をドラッグすると、曲線が変化します。
r(t)
３次ベジェ曲線
４点A,B,C,Dを制御点とするベジェ曲線は、次の式で生成されます。A,B,C,Dは位置ベクトル、tは[0..1]のスカラー（ベクトルでない）で、tを媒介変数とする３次式となっています。
r(t)=A・(1-t)3
+ 3・B・t・(1-t)2 +
3・C・t2・(1-t) +
D・t3
この式は t=0 のとき点A、t=1のとき点Bとなります。tが0から1に変化するとともに、r(t)の値は A>B>C>D の順に移っていきます
曲率
ベジェ曲線のt=0における曲率半径1/ρは、次のようになります。
ここで、nは次数、a1 は P0-P1 のベクタ、nはその法線、a2 はP2-P1 のベクタです。
ベジェ曲線の性質
閉包性
ベジェ曲線は制御多角形がつくる凸多角形の内部に入ります。
両端
ベジェ曲線は両端で凸多角形に接します。
作図
A,B,C,D を制御点とする４次のベジェ曲線で考えます。A-B,B-C,C-Dの中点をP,Q,Rとします。P-Q, Q-R の中点を S,T、S-Tの中点を
W とすると、Wはt=1/2 のベジェ曲線の点となります。
一般に、各線分をm:nの比で分割した点wはベジェ曲線 t=m/(m+n) の点となります。
曲率連続
接続するベジェ曲線の次数が高い場合、「曲率が等しい」の制限を区化する場合があります。この場合、次の条件を満たすよう、b2とam-1を調整します。
ベジェ曲線の接続
次数の高いベジェ曲線は、特定の点の変化が、曲線全体の影響するため、曲線の編集が困難です。そのため、3〜４次のベジェ曲線を、連続条件を満足するよう接続します。
曲線を、A: P0, P1, Pm、と B: Q0, Q1, ,Qnとします。
Pm = Q0 ；点が接続する
am = k b1 ：両端の接線方向が等しい。