論理式を簡単化しよう


  1. 論理式の簡単化


    同じ機能でも、部品や素子数が異なる回路が存在します。ここでは、回路を実現するとき、より簡単になる論理式を導く方法について考えます。論理式の性質より次のような簡単化の公式が導かれます。

    1. 簡単化の公式


      ［公式：簡単化1］
          　A･B + A･^B = A
      この式は、Aが1ならBが0でも1でも式の値が1になるばあい、Bは無意味（冗長）であることを示します。

      ［証明］　
      これは
          　　 A･(B + ^B) = A･(1)
      より簡単に導かれます。

      ［公式：簡単化2］
          　A + A･B = A ；　　A･(A + B) = A
      この式は A が 1 のとき式の値が 1 であれば、A に制限を付けた項(A･B)は冗長であることを示す。

      ［証明］
      　A+A･B = A･1 + A･B = A･(1+B) = A･1 = A
      　A･(A+B) = A+A･B = A

      ［公式：簡単化3］
          　A + ^A･B = A + B　　 A･(^A + B) = A･B
      この式の意味はAが1のとき式の値は他に無条件に1になりますから、Bに対する^Aの条件付けは不要であることを示します。第二式の導出は簡単でしょう。

      ［証明］
      最初の式は次のように証明できます。^A･BをBにするには、A･Bの項が必要です。A･Bの項は、Aを分解して作成できます。
      A + ^A･B = A･(B + ^B) + ^A･B = A･B + A･^B + ^A･B
      = A･B + A･B + A･^B + ^A･B = A･(B +^ B) + B･(A + ^A)
      = A･1 + B･1 = A + B

      ［公式：簡単化4］
      X･Y + ^X･Z + Y･Z = X･Y + ^X･Z
(X+Y)･(^X+Z)･(Y+Z) = (X+Y)･(^X+Z)
      この式は、Y･Zなら、 X･Y + ^X･Zは必ず１になりますから、Y･Zは省略可能であることを示します。

    2. 簡単化の手法

      これらの簡単化の公式も、実際には
          A･C + C･D + ^A･B･C
      のように式の一部に現れます。
          C･(A + ^A ･ B + D) = C･(A + B + D)
      と簡単化するにはある程度の訓練が必要でしょう。

      問題 １
      簡単化公式を代入法（しらみつぶし法とも言います）で証明しなさい。

      問題 ２
      次の、各論理式を簡単化しなさい。
      　(a)A・B・^C + A・^B・C + A・B・C
      　(b)A・^B・^C + A・^B・C + A・B・^C + A・B・C

  2. 図による論理式の簡単化

    論理式を簡単化するには、図を用いた直感的な手法があります。

    1. ３変数の積を図で表現する

      図のように、８個のマスを作り、左半分をA=1の領地、中央半分をB=1の領地、上半分をC=1の領地とします。すると、上段の左端のマスは、A,Cの領地であり、Bの領地ではないので、 A・^B・C　と対応付けをすることができます。同様に、下段左から２番目のマスは、A,Bの領域でCの領域でないので、 A・B・^C　となります。


      問題３
      他の適当な3個のマスに対応する論理積を求めて下さい。

    2. 連結したマス

      また、下のように連続する二つのマスを併せた領域は、A・Cの領域となります。これは、
      　A・^B・C + A・B・C=A・C　に対応します。



      問題４
      A・B、および、Cに対応する、連結したマスを求めなさい。Cの領域は4個のマスになります。

    3. 論理式を図で表現する

      一般に、論理式は論理積された項の論理和の形式になります。論理積の各項に対応するマスに1を記入すると、論理式　X = A・^B・C＋ A・B・C＋ A・B・^C＋ ^A・B・^C は次のように、１のマスが４個の図で表現できます。


    4. 図を利用して論理式を簡単化する

      ４個の１は、連結された２つの領域で表現できます。上段の領域は　A・C、下段の領域はB・C　となります。従って、この論理式は、二つの連結したマスの論理和として、
      　　 X = A・C + B・^C
      として表現できます。


      上の長方形が　A・^B・C＋ A・B・C に対応し、下の長方形が A・B・^C＋ ^A・B・^C に対応します。簡単化できる項の組み合わせが、図を利用すると 隣り合う二つのマスに対応します。

    5. こんな連結もあるよ

      うっかりすると、見落としてしまう連結もあります。下の図で、左は、^B・C　、右は^Bとなります。


      問題５
      次の式を、図を用いて簡単化して下さい。
      　X = A・^B・C＋ ^A・B・C＋ A・^B・^C＋ ^A・B・^C
      また、簡単化公式を用いて簡単化して下さい。

    6. ４変数の場合

      ちょっと面倒ですが、縦方向も２変数とし、領域を４区分すると、４変数の図が作成できます。


      問題６
      次の図に対応する出来るだけ簡単な論理式を求めて下さい。

      ヒント：左は2変数の項が二つ、右は2変数が１個3変数が3個になります。

      問題７
      次の式を簡単化しなさい。
      　A・^B・C・^D + A・^C・^D + B・^C + ^C

    7. 限界

      この方法では4変数までが限界です。5変数以上を見た目に分かりやすく表示する方法がないからです。また、この図を考案者に因んで、カルノー図とか、ビッチ図などと呼ぶことがあります。

  3. レポート課題、アンケート


    1. 課題

      次の、各論理式を図を用いて簡単化しなさい。作成した図を示すこと。
      提出　次週、講義の前に提出すること。

      　(a)A・B・^C + A・^B・C + A・B・C

      　(b)A・^B・^C + A・^B・C + A・B・^C + A・B・C

    2. アンケート

      １．式の変形による回路の簡単化は理解できましたか？

      １．ほぼできた　２．少しわかった　　３．よくわからん

      ２．図による回路の簡単化は理解できましたか？

      １．ほぼできた　２．少しわかった　　３．よくわからん

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