場合の数
異なる n 個のものから r
個とって1列に並べた数字の列を順列といいます。例えば、1,2,3 の数から 2個を取り出し並べると以下の6通りの場合があります。ここで、同じ数を重複して取り出すことはできないモノとします。
1,2 1,3 2,1 2,3 3,1 3,2
二項定理
(a+b) を n 回かけるとき、a を n-r 回選び、b を r 回選ぶと、an-r ・
br の項となります。この項が現れる組み合わせの数は、nCr です。
(a+b)n = Σ(r = 0..n) nCr
an-r ・ br
順列の数
異なる n 個から、最初の数の取り出し方は n 通りあります。次の数は、残りの n-1 個から選びますから n-1
通りになります。したがって、n個のものから2個とって1列に並べるとき、可能な数字の数は n・(n-1) になります。
これを続けると、異なるn個のものからr個とって1列に並べるとき、異なる数字の数は
n・(n-1)・(n-2)・・(n-r +1)
となります。この数を nPr と表します。
組み合わせ
n 個から r 個取り出すとき、取り出した順序には無関係に、集合として異なる場合のみを数えるとき、組み合わせ(combination)といいます。
例えば、1,2,3 枚から2枚を取り出す場合、順列としては、1,2 と 2,1 は別と考えますが、組み合わせとしては同じと考えます。したがって以下の3通りになります。
1,2 1,3 2,3
一般に n 個のものから r 個とる組み合わせの数を nCr
と書きます。これは、以下のように計算できます。
nCr =
nPr /r ! = n!/ ((n-r) ! ・ r !)