組み合わせ数

場合の数
異なる n 個のものから r 個とって1列に並べた数字の列を順列といいます。例えば、1,2,3 の数から 2個を取り出し並べると以下の6通りの場合があります。ここで、同じ数を重複して取り出すことはできないモノとします。

 1,2 1,3
 2,1 2,3
 3,1 3,2

二項定理
(a+b) を n 回かけるとき、a を n-r 回選び、b を r 回選ぶと、an-r ・ br の項となります。この項が現れる組み合わせの数は、Cr です。
 (a+b)n = Σ(r = 0..n) Cr an-r ・ br 

順列の数
異なる n 個から、最初の数の取り出し方は n 通りあります。次の数は、残りの n-1 個から選びますから n-1 通りになります。したがって、n個のものから2個とって1列に並べるとき、可能な数字の数は n・(n-1) になります。
 これを続けると、異なるn個のものからr個とって1列に並べるとき、異なる数字の数は

      n・(n-1)・(n-2)・・(n-r +1)

となります。この数を nPr と表します。

組み合わせ
n 個から r 個取り出すとき、取り出した順序には無関係に、集合として異なる場合のみを数えるとき、組み合わせ(combination)といいます。
 例えば、1,2,3 枚から2枚を取り出す場合、順列としては、1,2 と 2,1 は別と考えますが、組み合わせとしては同じと考えます。したがって以下の3通りになります。 
 1,2 1,3  2,3
 一般に n 個のものから r 個とる組み合わせの数を Cr と書きます。これは、以下のように計算できます。
 Cr = Pr /r ! = n!/ ((n-r) ! ・ r !)