群・体

群
代数系が次の性質を満たすとき群(group)と呼びます。
閉包性(closure)
　集合の任意の要素a、bに対し、演算c = a・b が定義され、cは集合の要素となる。
　∀a,∀b,∃c　a・b = c
結合律(connectivity)
　演算は実行の順序によらない。
　∀a,∀b,∀c　(a・b)・c　=　a・（b・c）

単位元(identity element)
単位元と呼ばれる要素eが存在し、任意の要素aはeと演算しても値は変わらない。
　∀a,∃e　a・e = a
逆元(inverse element)
任意の要素aに対し演算すると結果が単位元になる要素bが存在する。
　∀a、∃b a ・ b = e

体
集合Fに和と積の二種類の演算が定義され、以下の条件を満たすとき体とよびます。
Fは和に関して可換群となる。
Fは積に関して和の単位元以外の要素に対して可換群となる。
和と積に関して以下の分配律を満たす。
　　a・(b + c) = a・b + a・c

有限体の例
素数pに対し、Zp = （｛0,1,2,...,p-1｝、＋ mod p、・ mod p）は体になります。

有限群
有限の要素から構成される群を有限群と呼びます。
モードpの加算のもとで［0,1,2,3....,p-1］は群となる。また、pが素数の時、［1,2,3....,p-1］はモードpの乗算で群となる。
　pが素数でないと、モードｐの乗算では群になりません。

複素数体
複素数は体になります。a + b・i　の和の逆元は　-a - b・i で、積の逆元は、(1/( a² + b²　)）(a - b ・i) です。

逆元と方程式
次の方程式を考えます。a,x,cを乗算に関する群の要素とします。
　a．x　= c
a の逆元 a-1 が存在すれば、これを両辺にかければ、
　x = a-1 ．c