面積を求める
三角や多角形の面積は比較的簡単に求められますが、2次曲線（円）やその他の初等関数の組み合わさった面積を求めるのは、困難でした。
積分の例
積分と微分
x までの面積を F(x) とすると、区間を一つ増し たときの面積の増分は
F(x+ dx) - F(x) = f(x) dx
となります。両辺をdxで割ると、左辺は F(x)の微分となります。したがって、
F(x)' = ｆ（ｘ）
となります。したがって、ｆ（ｘ）の作る面積関数 F（x) は
微分したら f(x) になる関数
となります。
体積を求める
円錐の体積は、円錐を軸に直角にｎ個に輪切りにし、各輪の体積を円柱で近似します。
輪切りの厚みは、l/n、半径は (r/n) ですから、輪切りの合計体積は
区分求積
左図の面積は、各タンザク部の形を長方形と考えて、
S=Δx f(x1) + Δx f(x1) + + Δx f(xn)
となります。分割数を十分大きくとったときの和を次のようにかきます。∫は合計（ sum）のSの変形で、インテグラル（積分）と読みます。
2乗和を求め、n を十分大きくすると、
となり、円柱の面積の 1/3 となります。
