対数・指数関数の微分

指数関数の微分

　(e^x)' = e^x

ヒント

　y = e^x
の対数をとると
　log y = x
x を　y　で微分すると
　dx/dy = 1/y
したがって
　dy/dx = y

対数関数の微分
　(log x)' = 1/x
です。対数の底は e とします。

ヒント
(log(x+Δx)-log(x))/Δx
=(1/Δx)log((x + Δx)/x)
=log(1+ Δx/x)^(1/Δx)
になります。h=x/Δx とおくと
=log(1+1/h)^(h/x)=(1/x)log(1+1/h)^h
e の定義から
lim (1+(1/h))^h=e ですから
=1/x

一般の指数関数の場合
　(a^x)' = a^x log a

ヒント
y = a ^x
両辺の対数をとると
log y = x log a
y で微分すると
　1/y = (dx/dy) log a
したがって
　(dy/dx) = y　log a

一般の底の場合
(log _a x) ' = 1/（ｘ log a）

ヒント

y = log _a x = (log x)/(log a)
y' = 1/(x log a)