2次の微分方程式(運動方程式)

振動の方程式
バネの中心を原点にします。おもりの重さをm、位置をxで表します。バネがおもりを引っ張る力Fはバネの長さに比例し、方向は逆ですから
 F=-q・x
となります。ここで、qはバネの強さです。おもりの加速度をαとすると、ニュートンの法則から
 m・(dα/dt) = F = -q・x
となります。(dα/dt)は時間に対する加速度の時間に対する変化率を意味しています。加速度は速度の変化率ですから α=dv/dt で、さらに速度は距離xの変化率ですから v=dx/dt です。従って、
   m・(dx2/dt2) + q・x = 0 
となります。

方程式の解
この式は解析的に求められます。
 m・(dx2/dt2) + q・x = 0 
この方程式は2回微分すると元の式に戻ることが必要です。この条件を満たす関数は、三角関数です。一般に次のような式になります。
  x(t)= A cos(ω・t) + B sin(ω・t)
とすると、w2=k/m が条件になります。ここで、t=0で α=0、x=A としています。
この動きを図にすると次のようになります。横軸は時間で、縦軸が中心からの距離(x)になります。
q が大きくなると、戻りが速くなるため周期が短くなります。