一般の関数
一般に、関数が次のように展開できると予想する。

　　

両辺を n 回微分する。

だから

したがって、
. .

線形関数：出発点
f(x) = ax + b
を考える。
f'(x)=a
だから、
f(x) = f'(x) x +b
ともかける。

2次関数
f(x) = ax² + bx + c

f'(x) = 2 a x + b
f''(x) = 2 a
となる。x = 0 とすると
a = f""(0)/2
b = f'(0)
で a, b が関数の微分から求められる。
f(x) = f""(0)/2 x² + f'(0)  x + c

テイラー展開

テイラー級数
一般に、nが大きくなると

が0に収束するなら、

と展開できる。これをテイラー級数と呼びます。

例
下記の関数は　x の絶対値が1以下なら、次のように級数展開できます。