B-スプライン曲線

1. B-スプライン曲線
   
   
   1. B-スプライン曲線の特徴
      B-スプライン曲線は、指定された制御多角形の内部に描かれるパラメトリック曲線です。下に5点を制御点とする、B-スプライン曲線の例を示します。
      　B-スプライン曲線の特徴として、局所性が挙げられます。これは、特定の制御点を移動した場合、影響を受ける範囲は、制御点の近傍に限定され、離れた部分の曲線には影響を与えない、という性質です。
      
      
      
      
   2. 基底関数の例
      B-スプライン曲線　r(t)　は基底関数を　Ni,k　、制御点をPi　とすると、
      　
      　r(t)=ΣN_i,k(t）Pi
      
      で定義されます。上の例での基底関数　N_i,k(t）　のグラフは下のようになります。左から、5個のグラフがあります。横軸は　t　（0<t<5)）で、縦軸のグラフの最大値（左右両端）が1になります。
      
      　
      
      各　　N_i,k(t）　が制御点　Pi　に対する重み付けを連続的に調整し、制御点にしたがう曲線を生成しています。
      
      
   3. 基底関数とノットベクトル
      　基底関数は　ノットベクトル　と呼ばれる　
      　(t0,t1,t2,t3,t4,..)　t_i　<　t_i+1
      により特徴づけられます。
      上の基底関数はノットベクトル　[ ０，０，０，１，２，３，３，３ ]　で生成されています。
      　Bースプライン関数はこのノットベクトルにより形を変えますから、生成される曲線の形状も一定ではありません。
      　N_i,k(t）は次のように、再帰的に定義されます。
      　
      　N_i,1(t） = 1 ti < t <= ti+1
      　　　　　　　0 それ以外
      
      　N_i,k(t）=((t-t_i)/(t_i+k-1-t_i))N_i,k-1(t） + ((t_i+k-t)/(t_i+k-t_i+1))N_i+1,k-1(t）
      　
      ここで、分母が0になる場合、その項はないもの（０とする）として扱います。
      
      
   4. ユニフォームBスプライン
      　ノットベクトルが、[0,1,2,3,4,5,6,7] のように、等間隔の整数の時、ユニフォームBスプラインといいます。この場合の基底関数は、次のようになります。このときの、tの範囲は　[0,7]となります。
      　
      
      
      　各制御点に対する基底関数の形状は同一になります。各基底関数は中心と前後の点のみに作用します。3種の関数がすべて定義されていない両端では、曲線は定義されません。例えば、t=0　となる最左点では、基底関数は０（または未定義）ですから、曲線の点は　(0,0)　になってしまいます。したがって、曲線が定義されるtの範囲は　[2,5]　となります。
      
      
2. プログラム
   
   1. 基底関数の計算
      　N_i,k(t）　の値を計算するメソッドをbaseNとします。nv[]　はノットベクトルです。一般には、ノットベクトルと階数を定めると、tの関数として計算できますから、あらかじめ　t　の関数とする方が効率的です。
      

       double baseN(int i,int k,double t,int nv[]){
          double w1=0.0,w2=0.0;
          if(k==1){
            if(t >=nv[i] && t<nv[i+1]) return 1.0;
            else return 0.0;
          }
          else {
            if((nv[i+k]-nv[i+1])!=0){
              w1=((nv[i+k]-t)/(nv[i+k]-nv[i+1])) * baseN(i+1,k-1,t,nv);
            }
            if((nv[i+k-1]-nv[i]) !=0 ){
              w2=((t-nv[i])/(nv[i+k-1]-nv[i])) * baseN(i,k-1,t,nv);
            }
            return (w1+w2);
          }
        }

      
      
   2. 基底関数表示
      　5本の基底関数を同時に表示するため、tと対応する基底関数の値を配列　spx[]とspy[]　に計算しておき、これをまとめて表示しています。
      
      
   3. プログラムの利用法
      　基底関数と曲線の表示をボタンで選択できます。制御点はマウスでドラッグできます。利用するノットベクトルは2種を選択できます。ノットベクトルを切り替えても表示は変化しません。ボタンを押してください。
      
      
      
      
   4. ソース
      　このプログラムのソースはこちらにあります。